求函數(shù)最值的方法總結(jié)
一般的，函數(shù)最值分為函數(shù)最小值與函數(shù)最大值。簡單來說，最小值即定義域中函數(shù)值的最小值，最大值即定義域中函數(shù)值的最大值。下面就是小編整理的求函數(shù)最值的方法總結(jié)，一起來看一下吧。
函數(shù)的最值問題既是歷年高考重點考查的內(nèi)容之一，也是中學數(shù)學的主要內(nèi)容。函數(shù)最值問題的概念性、綜合性和靈活性較強，考題的知識涉及面較廣，對于學生的分析和邏輯推理能力要求較高。通過對函數(shù)最值問題的相關(guān)研究，結(jié)合自身的感觸和學習的心得，總結(jié)歸納出了求解函數(shù)最值的幾種常用的方法，并討論了學習函數(shù)最值求解中應該注意的問題，這將有利于提高學生的數(shù)學建模能力和解題能力。文章主要通過舉例說明的方式來闡述求解函數(shù)最值的幾種常用解法，希望對培養(yǎng)學生數(shù)學學習能力，提高學生的解題能力有所幫助。
函數(shù)f（x）在區(qū)間I上的最大值和最小值問題，本質(zhì)上是一個最優(yōu)化的問題。求解函數(shù)最大值與最小值的實際問題，包括三方面的工作：一是根據(jù)實際問題建立目標函數(shù)，通常總是選取待求的最優(yōu)量為因變量：二是按上述的求解方法求出目標函數(shù)在相應區(qū)間上的最大值或最小值；三是對所求得的解進行相應實際背景的幾何意義的解釋。同時一方面要深刻理解題意，提高閱讀能力，要加強對常見的數(shù)學模型的理解，弄清其產(chǎn)生的實際背景，把數(shù)學問題生活化；另一方面要不斷拓寬知識面，提高間接的生活閱歷，如了解一些諸如物價、行程、產(chǎn)值、利潤、環(huán)保等實際問題，也涉及角度、面積、體積、造價等最優(yōu)化問題，培養(yǎng)實際問題數(shù)學化的意識和能力。
最值問題綜合性強，幾乎涉及高中數(shù)學各個分支，要學好各個數(shù)學分支知識，透徹地理解題意，能綜合運用各種數(shù)學技能，熟練地掌握常用的解題方法，才能收到較好的效果。
（1）代數(shù)法。代數(shù)法包括判別式法（主要是應用方程的思想來解決函數(shù)最值問題）配方法（解決二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的`最值問題）不等式法（基本不等式是求最值問題的重要工具，靈活運用不等式，能有效地解決一些給定約束條件的函數(shù)最值問題）④換元法（利用題設條件，用換元的方法消去函數(shù)中的一部分變量，將問題化歸為一元函數(shù)的最值，以促成問題順利解決，常用的換元法有代數(shù)換元法和三角換元法）。
①判別法：判別式法是等式與不等式聯(lián)系的重要橋梁，若能在解多元函數(shù)最值過程中巧妙地運用，就能給人一種簡單明快、耳目一新的感覺。而應用判別式的核心在于能否合理地構(gòu)造二次方程或二次函數(shù)，還需注意是否能取等號。若函數(shù)可化成一個系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，在a（y）≠0時，由于x，y為實數(shù)，必須有：△=[b（y）]—4a（y）c（y）≥0，由此求出y所在的范圍確定函數(shù)最值。
②配方法：配方法多使用于二次函數(shù)中，通過變量代換，能變?yōu)殛P(guān)于t（x）的二次函數(shù)形式，函數(shù)可先配方成為f（x）=a[t（x）—m]2+n的形式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定其最值（此類題的解法關(guān)鍵在于用“配方法”將二次函數(shù)一般式化為頂點式，同時要考慮頂點的橫坐標的值是否落在定義域內(nèi)，若不在定義域內(nèi)則需考慮函數(shù)的單調(diào)性）。
③不等式法：均值不等式求最值，必須符合“一正、二定、三相”這三個必要條件，因此當其中一些條件不滿足時應考慮通過恰當?shù)暮愕茸冃危惯@些條件得以滿足“和定積最大，積定和最小”，特別是其等號成立的條件。（在滿足基本不等式的條件下，如果變量的和為定值，則積有最大值；變量的積為定值，則和有最小值。本例中計算的目的，是利用隱含在條件之中的和為定值，當然這里還需要利用系數(shù)的湊合才能達到目的，具有一定技巧）
④換元法：換元法又叫變量替換法，即把某個部分看成一個式子，并用一個字母代替，于是使原式變得簡化，使解題過程更簡捷（在利用三角換元法求解問題時，關(guān)鍵還是要在掌握好三角函數(shù)常用關(guān)系式的基礎上，結(jié)合所求解的函數(shù)式，慎重使用）。
（2）數(shù)形結(jié)合法。數(shù)形結(jié)合法是數(shù)學中的一種重要的思想方法，即考慮函數(shù)的幾何意義，結(jié)合幾何背景，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，解法往往顯得直觀、簡捷。通過數(shù)與形之間的對應和轉(zhuǎn)化來解題，有許多的優(yōu)越性。將抽象的數(shù)學語言和直觀的圖形結(jié)合起來，借助幾何圖形活躍解題思路，使解題過程簡化。有時函數(shù)最值也借助數(shù)形結(jié)合方法來求解。
①解析式：解析法是觀察函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)相關(guān)的性質(zhì)，求解函數(shù)最值的方法。
②函數(shù)性質(zhì)法：函數(shù)性質(zhì)法主要是討論利用已學函數(shù)的性質(zhì)，如函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)最值等。
③構(gòu)造復數(shù)法：構(gòu)造復數(shù)法是在已經(jīng)學習復數(shù)章節(jié)的基礎上，把所求結(jié)論與復數(shù)的相關(guān)知識聯(lián)系起來，充分利用復數(shù)的性質(zhì)來進行求解。
④求導法（微分法）：導數(shù)是高中現(xiàn)行教材新增加的內(nèi)容，求導法求函數(shù)最值是應用高等數(shù)學的知識解決初等問題，可以解決一類高次函數(shù)的最值問題。找閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x）的最大（或最小）值時，將不可導點、穩(wěn)定點及a，b處的函數(shù)值作比較，最大（或最小）者即為最大（或最小）值。
綜上可知，函數(shù)最值問題內(nèi)涵豐富，解法靈活，沒有通用的方法和固定的模式，在解題時要因題而異；而且上述方法并非彼此孤立，而是相互聯(lián)系、相互滲透的，有時一個問題需要多法并舉，互為補充，有時一個題目又會有多種解法。因此，解題的關(guān)鍵在于認真分析和思考，因題而異地選擇恰當?shù)慕忸}方法，當一題有多種解法時，當然應該注意選擇最優(yōu)解法。
以上八種方法僅作為個人的一點愚見，僅是滄海一粟，希望在應用的時候千萬不能按部就班，難免會遇到瓶頸，只有弄清其本質(zhì)，在應用時才能取得事半功倍的效果。
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