主要內容

圓柱和圓錐的認識、圓柱的表面積

學習目標

1、使學生在觀察、操作、交流等活動中感知和發現圓柱、圓錐的特征，知道圓柱和圓錐的底面、側面和高。

2、使學生理解圓柱側面積和圓柱表面積的含義，掌握圓柱側面積和表面積的計算方法。

3、使學生在活動中進一步積累認識立體圖形的學習經驗，增強空間觀念，發展數學思考。

4、使學生進一步體驗立體圖形與生活的關系，感受立體圖形的學習價值，提高學習數學的興趣和學好數學的信心。

考點分析

1、圓柱上、下兩個面叫做圓柱的底面，它們是完全相同的兩個圓。形成圓柱的面還有一個曲面，叫做圓柱的側面。

圓柱兩個底面之間的距離叫做圓柱的高。

2、圓錐的底面是個圓，圓錐的側面是一個曲面。從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高。

3、把圓柱的側面展開得到一個長方形，這個長方形的長等于圓柱底面的周長，寬等于圓柱的高。

4、圓柱的側面積 = 底面周長 × 高

5、圓柱的表面積 = 側面積 + 底面積 × 2

典型例題

例1、（圓柱和圓錐的特征）圓柱和圓錐分別有什么特點？

分析與解：長方體和正方體的六個面都是平面圖形（長方形或正方形），而圓柱和圓錐除了底面是平面圖形（圓）外，都有一個曲面。圓柱和圓錐的特征見下表。 

圓  柱 圓  錐

底  面 兩個底面完全相同，都是圓形。 一個底面，是圓形。

側  面 曲面，沿高剪開，展開后是長方形。 曲面，沿頂點到底面圓周上的一條線段剪開，展開后是扇形。

高 兩個底面之間的距離，有無數條。 頂點到底面圓心的距離，只有一條。

例2、求下面立體圖形的底面周長和底面積。

                                  

半徑3厘米               直徑10米

分析與解：根據圓的面積和周長計算公式計算圓柱和圓錐的底面周長和底面積。

圓柱：底面周長  3.14 × 3 × 2 = 18.84（厘米）

底面積    3.14 × 3  = 28.26（平方厘米）

圓錐：底面周長  3.14 × 10 = 31.4（米）

底面積    3.14 ×（10÷2） = 78.5（平方米）

點評：圓柱和圓錐的底面都是圓，在計算它們的周長和面積時只要按照圓的周長和面積計算公式進行計算。

例3、判斷：圓柱和圓錐都有無數條高。

錯誤解法：正確

分析與解：圓柱有無數條高，圓錐只有一條高。

正確解答：錯誤

點評：圓柱兩個底面之間的距離叫做圓柱的高。兩個底面之間有無數個對應的點，圓柱有無數條高。從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高。頂點和底面圓心都是唯一的點，所以圓錐只有一條高。

例4、（圓柱的側面積）體育一個圓柱，底面直徑是5厘米，高是12厘米。求它的側面積。 

分析與解：

                                                       

                                                           高

                                           底面周長

沿著圓柱側面的一條高剪開，將側面展開，就得到一個長方形。這個長方形的長等于圓柱底面的周長，寬等于圓柱的高。因此，用圓柱的底面周長乘圓柱的高就得到這個長方形的面積，即圓柱的側面積。

解答： 3.14 × 5 × 12 = 188.4（平方厘米）

答：它的側面積是188.4平方厘米。 

點評：圓柱的側面是個曲面，不能直接求出它的面積。推導出側面積的計算公式也用到了轉化的思想。把這個曲面沿高剪開，然后平展開來，就能得到一個長方形，這個長方形的面積就是這個圓柱的側面積。

例5、（圓柱的表面積）

做一個圓柱形油桶，底面直徑是0.6米，高是1米，至少需要多少平方米鐵皮？（得數保留整數）

分析與解：求鐵皮的面積，就是求圓柱形油桶的表面積，即兩個底面積和一個側面積的和。

 

解答：底面積：3.14 ×（0.6÷2） = 0.2826（平方米）

側面積：3.14 × 0.6 × 1 = 1.884（平方米）

表面積：0.2826 × 2 + 1.884 = 2.4492（平方米）≈ 3（平方米）

答：至少需要鐵皮3平方米。

點評：這里不能用四舍五入法取近似值。因為在實際生活中使用的材料要比計算得到的結果多一些。因此這兒保留整數，十分位上雖然是4，但也要向個位進1。

例6、（辨析）一個無蓋的圓柱鐵皮水桶，底面直徑是30厘米，高是50厘米。做這樣一個水桶，至少需用鐵皮6123平方厘米。

分析與解：題目中是做一個無蓋的圓柱鐵皮水桶，只有一個底面。在計算鐵皮面積時只要用圓柱的側面積加上一個底面的面積。

解答：底面積：3.14 ×（30÷2） = 706.5（平方厘米）

側面積：3.14 × 30 × 50 = 4710（平方厘米）

表面積：706.5 + 4710 = 5416.5（平方厘米）

答：做這樣一個水桶，至少需用鐵皮5416.5平方厘米。

例7、（考點透視）一個圓柱的側面積展開是一個邊長15.7厘米的正方形。這個圓柱的表面積是多少平方厘米？ 

分析與解：圓柱的側面積展開是一個正方形，即圓柱的高和底面周長都是15.7厘米。根據圓柱的底面周長可以算出底面積。

解答：底面半徑：15.7 ÷ 3.14 ÷ 2 = 2.5（厘米）

      底面積：3.14 × 2.5  = 19.625（平方厘米）

側面積：15.7 × 15.7  = 246.49（平方厘米）

表面積：19.625 × 2 + 246.49 = 285.74（平方厘米）

答：這個圓柱的表面積是285.74平方厘米。

例8、（考點透視）一個圓柱形的游泳池，底面直徑是10米，高是4米。在它的四周和底部涂水泥，每千克水泥可涂5平方米，共需多少千克水泥？

分析與解：要求水泥的質量，先要求水泥的面積。在圓柱形的游泳池的四周和底部涂水泥，涂水泥的面積是一個底面積加上側面積。

解答： 

側面積：3.14 × 10 × 4 = 125.6（平方米）

底面積：3.14 × （10 ÷ 2） = 78.5（平方米）

涂水泥的面積：125.6 + 78.5 = 204.1（平方米）

水泥的質量：204.1 ÷ 5 = 40.82（千克）

答：共需40.82千克水泥。

例9、（考點透視）把一個底面半徑是2分米，長是9分米的圓柱形木頭鋸成長短不同的三小段圓柱形木頭，表面積增加了多少平方分米？

分析與解：鋸圓柱形木頭，表面積增加的部分是若干個相同的底面積。鋸成三段，要鋸兩次，每鋸一次增加兩個面，鋸了兩次增加了四個面。

3.14 × 2  × 4 = 50.24（平方分米）

答：表面積增加了50.24平方分米。

點評：這是一道在實際生活中應用的題目，對于這一類題目，它的規律就是每切一次就增加兩個面。但切的方式不同，增加的面也不同。如果是沿著底面直徑把圓柱切成相同的兩個部分，增加的面就是以底面直徑和高為兩鄰邊的長方形。

小學數學總復習專題講解及訓練（四）

模擬試題

 

下面(     )圖形旋轉會形成圓柱。

 

3、在下圖中，以直線為軸旋轉，可以得出圓錐的是（     ）。

 

4、求下列圓柱體的側面積

（1）底面半徑是3厘米，高是4厘米。 

（2）底面直徑是4厘米，高是5厘米。

（3）底面周長是12.56厘米，高是4厘米。

5、求下列圓柱體的表面積

（1）底面半徑是4厘米，高是6厘米。 

（2）底面直徑是6厘米，高是12厘米。

（3）底面周長是25.12厘米，高是8厘米。

6、用鐵皮制作一個圓柱形煙囪，要求底面直徑是3分米，高是15分米，制作這個煙囪至少需要鐵皮多少平方分米？（接頭處不計，得數保留整平方分米）

7、請你制作一個無蓋圓柱形水桶，有以下幾種型號的鐵皮可供搭配選擇。

 

8、一個圓柱形蓄水池，底面周長是25.12米，高是4米，將這個蓄水池四周及底部抹上水泥。如果每平方米要用水泥20千克，一共要用多少千克水泥？

參考答案：

  

上圖上面從左到右依次是：底面、側面積

中間從左到右依次是：高、高

下面從左到右依次是：底面、底面周長、底面周長

下面(  A   )圖形旋轉會形成圓柱。

 

3、在下圖中，以直線為軸旋轉，可以得出圓錐的是（  ④   ）。

 

4、求下列圓柱體的側面積

（1）底面半徑是3厘米，高是4厘米。   3.14×3×2×4 = 75.36（厘米）

（2）底面直徑是4厘米，高是5厘米。   3.14×4×5 = 62.8（厘米）

（3）底面周長是12.56厘米，高是4厘米。12.56×4 = 50.24（厘米）

5、求下列圓柱體的表面積

（1）底面半徑是4厘米，高是6厘米。

底面積：3.14 × 4  = 50.24（平方厘米）

側面積：3.14 × 4 × 2 × 6 = 150.72（平方厘米）

表面積：50.24 × 2 + 150.72 = 251.2（平方厘米）

（2）底面直徑是6厘米，高是12厘米。

底面積：3.14 × （6÷2） = 28.26（平方厘米）

側面積：3.14 × 6 × 12  = 226.08（平方厘米）

表面積：28.26 × 2 + 226.08 = 282.6（平方厘米）

（3）底面周長是25.12厘米，高是8厘米。

底面積：25.12 ÷ 3.14 ÷ 2 = 4（厘米）

3.14 × 4  = 50.24（平方厘米）

側面積：25.12 × 8 = 200.96（平方厘米）

表面積：50.24 × 2 + 200.96 = 301.44（平方厘米）

6、用鐵皮制作一個圓柱形煙囪，要求底面直徑是3分米，高是15分米，制作這個煙囪至少需要鐵皮多少平方分米？（接頭處不計，得數保留整平方分米）

側面積：3.14 × 3 × 15  = 141.3（平方分米）≈ 142（平方分米）

7、請你制作一個無蓋圓柱形水桶，有以下幾種型號的鐵皮可供搭配選擇。

 

解法一：選擇①和④

底面積：3.14 × （3÷2） = 7.065（平方分米）

側面積：9.42 × 2  = 18.84（平方分米）

表面積：7.065 × 2 + 18.84 = 32.97（平方分米）

解法二：選擇②和③

底面積：3.14 × （4÷2） = 12.56（平方分米）

側面積：12.56 × 5  = 62.8（平方分米）

表面積：12.56 × 2 + 62.8 = 87.92（平方分米）

8、一個圓柱形蓄水池，底面周長是25.12米，高是4米，將這個蓄水池四周及底部抹上水泥。如果每平方米要用水泥20千克，一共要用多少千克水泥？

底面積：25.12 ÷ 3.14 ÷ 2 = 4（米）

3.14 × 4  = 50.24（平方米）

側面積：25.12 × 4 = 100.48（平方米）

表面積：50.24  + 100.48 = 150.72（平方米）

水泥質量：  150.72 × 20 = 3014.4千克