主要內容

正比例和反比例

學習目標

1、使學生結合實際情境認識成正比例和反比例的量，能根據正、反比例的意義判斷兩種相關聯的量是否成正比例或反比例。

2、使學生初步認識正比例的圖像是一條直線，能利用給出的具有正比例關系的數據在方格紙上畫出相應的直線，能根據具有正比例關系的一個量的數值看圖估計另一個量的數值。

3、使學生在認識成正比例、反比例的量的過程中，初步體會數量之間相依互變的關系，感受有效表示數量關系及其變化規律的不同數學模型，進一步提升思維水平。

4、使學生進一步體會數學與日常生活的密切聯系，增強探索數學知識和規律的意識，養成積極主動地參與學習活動的習慣，提高學好數學的信心。

考點分析

1、兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應的兩個數的比的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們之間的關系叫做正比例關系。

如果用字母ｘ和ｙ分別表示兩種相關聯的量，用ｋ表示它們的比值，正比例關系可以用這樣的式子來表示：  = K（一定）。

2、用“描點法”可以得到正比例的圖像，正比例的圖像是一條直線。對照圖像，能根據一種量的值，估計另一種量相對應的值。

3、兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應的兩個數的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們之間的關系叫做反比例關系。

如果用字母ｘ和ｙ分別表示兩種相關聯的量，用ｋ表示它們的積，反比例關系可以用這樣的式子來表示：ｘｙ = K（一定）。

4、兩個變量的比值一定，這兩個變量成正比例；兩個變量的積一定，這兩個變量成反比例；沒有上述兩種關系，這兩個變量不成比例。

典型例題

例1、（正比例的意義）一列火車行駛的時間和路程如下表。這兩種量有什么關系？

時間/時 1 2 3 4 5 6 ……

路程/千米 120 240 360 480 600 720 ……

分析與解：（1）從上表可以看出，表中有時間和路程兩種量。

（2）從左往右看，時間擴大，路程也擴大；從右往左看，時間縮小，路程也縮小。所以它們是兩種相關聯的量。

（3）路程和時間的比值始終不變，  = 120，  = 120，  = 120……這個比值就是火車的行駛速度。

通過觀察和計算，我們對路程和時間的關系有兩點發現：第一點路程和時間是兩種相關聯的量，也就是時間變化，路程也隨著變化；第二點路程和對應的時間的比的比值（也就是速度）是一定的，有這樣的關系：  = 速度（一定）。

具備了這兩個條件，我們就可以得到結論：行駛的路程和時間成正比例關系；行駛的路程和時間成正比例的量。

點評：判斷兩種量是不是成正比例，分三步：一看它們是不是相關聯的兩種量；二是看一種量變化，另一種量是不是也隨著變化；滿足了前面兩個條件，再看它們的比值是否一定。不要省去任何一步。如果用字母ｘ和ｙ分別表示兩種相關聯的量，用ｋ表示它們的比值，正比例關系可以用這樣的式子來表示：  = K（一定）。

例2、（判斷是否成正比例）

練習本的單價一定，買練習本的數量和總價是不是成正比例？為什么？

分析與解：根據正比例的意義，看兩個變量的比值是否一定，如果兩個變量的比值一定，那么這兩個變量就成正比例，反之，則不成正比例。

買練習本的數量和總價是兩種相關聯的量，它們與練習本的單價有下面的關系：

  = 練習本的單價（一定）

所以練習本的數量和總價成正比例。

例3、（正比例的圖像）磁懸浮列車勻速行駛時，路程與時間的關系如下。

時間/分 1 2 3 4 5 6  7 ……

路程/千米 7 14 21 28 35 42 49 ……

（1）圖中的點A表示時間為1分鐘時，磁懸浮列車駛過的路程為7千米。請你試著描出其他各點。

（2）連接各點，它們在一條直線上嗎？

（3）根據圖像判斷，列車運行2分半鐘時，行駛的路程是多少千米？行駛30千米大約需要幾分鐘？  路程/千米

42 

35 

28 

21 

14 

7   ●A

0

     1  2  3  4 5  6  7 時間/分

分析與解：根據提供的各組數據描出圖像的許多個點，再依次連成直線。路程和時間相對應的數的比值都是7，即速度一定，路程和時間成正比例，圖像是一條直線。對照圖像，可以根據時間的值估計出路程的值，也可以根據路程的值估計出時間的值，估計時允許有一定的出入。

（1）描點、連線如圖。

               路程/千米

42                 ● 

35              ● 

28           ● 

21        ● 

14      ● 

7   ●A

0

     1  2  3  4 5  6  7 時間/分

（2）在一條直線上，因為路程和時間成正比例，正比例的圖像是一條直線。

（3）根據圖像，列車運行2分半鐘時，行駛的路程是17.5千米；行駛30千米大約需要4.3分鐘。

例4、（辨析）圓的周長和直徑成正比例，圓的面積和半徑成正比例？

分析與解：圓的周長和直徑成正比例，而圓的面積和半徑卻不成正比例。

可列表判斷。

半徑/cm 1 2 3 4 5 6 ……

直徑/cm 2 4 6 8 10 12 ……

周長/cm 6.28 12.56 18.84 25.12 31.4 37.68 ……

面積/cm 3.14 12.56 28.26 50.24 78.5 113.04 ……

圓的周長和直徑的相對應的數的比值都是3.14，所以圓的周長和直徑成正比例。而圓的面積和半徑的相對應的數的比值是變化的，所以圓的面積和半徑不成正比例。

圓的周長和直徑成正比例，圓的面積和半徑卻不成正比例。

例5、（反比例的意義）

下表是王師傅加工一批零件時，每小時加工零件個數隨時間變化的情況。這兩種量有什么關系？

每小時加工零件的個數/個 20 30 40 60  80 ……

加工的時間/時 12 8 6 4 3 ……

分析與解：（1）從上表可以看出，表中有每小時加工零件的個數和加工的時間兩種量。（2）從左往右看，每小時加工零件的個數擴大，加工的時間反而縮小；從右往左看，每小時加工零件的個數縮小，加工的時間反而擴大。所以它們是兩種相關聯的量。（3）每小時加工零件的個數和相對應的加工的時間的積都始終不變，如20 × 12 = 240，30 × 8 = 240，40 × 6 = 240……而這個積就是這批零件的總個數。

通過觀察和計算，我們發現：每小時加工零件的個數和加工的時間是兩種相關聯的量，每小時加工零件的個數隨著加工的時間變化而變化，但無論它們怎么變化，相對應的積是一定的，有這樣的關系：每小時加工零件的個數 × 加工的時間 = 零件的總個數（一定）。

所以每小時加工零件的個數和加工的時間成反比例的量，它們之間的關系叫做反比例關系。

點評：判斷兩種量是不是成反比例，和正比例一樣，分三步：一看它們是不是相關聯的兩種量；二是看一種量變化，另一種量是不是也隨著變化；滿足了前面兩個條件，再看它們的乘積是否一定，進行判斷。不要省去任何一步。如果用字母ｘ和ｙ分別表示兩種相關聯的量，用ｋ表示它們的比值，正比例關系可以用這樣的式子來表示：ｘｙ = K（一定）。

例6、（判斷是否成反比例）

總產量一定，每公頃的產量和公頃數是不是成反比例？為什么？

分析與解：根據反比例的意義，看兩個變量的乘積是否一定，如果兩個變量的積一定，那么這兩個變量就成反比例，反之，則不成反比例。

每公頃的產量和公頃數是兩種相關聯的量，它們與總產量有下面的關系：

每公頃的產量 × 公頃數 = 總產量（一定）

所以每公頃的產量和公頃數成反比例。

例7、（辨析）和一定，一個加數和另一個加數成反比例。

分析與解：判斷兩個變量是否成反比例，關鍵是看兩個變量的乘積是否一定。很明顯，和一定，兩個加數的積是變化的，所以它們不成反比例。

和一定，一個加數和另一個加數不成反比例。因為它們的積不一定。

點評：有些相關聯的量，雖然也是一種量變化，另一種量也隨著變化，但它們不是積一定，也       不是比值一定，它們就不成比例。像這樣的還有：人的跳高高度和身高；減數一定，被減數和差等。

例8、（綜合題1）

（1）長方形的面積一定，長和寬成反比例嗎？為什么？

（2）長方形的周長一定，長和寬成反比例嗎？為什么？

分析與解：判斷時可以用列表的方式列舉數據，也可以根據計算的公式來推導。

（1）因為長方形的長 × 寬 = 長方形的面積（一定），所以長和寬成反比例。

（2）長方形的周長 = （長+寬）× 2 ，長方形的周長一定，長+寬的和一定，但不是積一定，所以長和寬不成反比例。

例9、（綜合題2）

分別說明大米的總千克數、每天吃的千克數和天數這三種量中，每兩種量的比例關系。

（1）大米的總千克數一定，每天吃的千克數和天數；

（2）每天吃的千克數一定，大米的總千克數和天數；

（3）天數一定，大米的總千克數和每天吃的千克數。

分析與解：在大米的總千克數、每天吃的千克數和天數這三種量中，當某一種量一定時，另外兩種量可能成正比例關系，也可能成反比例關系。可以根據數量關系式來判斷。

（1）因為每天吃的千克數 × 天數 = 大米的總千克數（一定），所以大米的總千克數一定時，每天吃的千克數和天數成反比例。

（2）因為  = 每天吃的千克數（一定），所以每天吃的千克數一定時，大米的總千克數和天數成正比例。

（3）因為  = 天數（一定），所以天數一定時，大米的總千克數和每天吃的千克數成正比例。