二、分析數(shù)之間的規(guī)律
在上一講的內(nèi)容里，我們向同學(xué)們介紹了如何觀察與分析圖形之間的變化規(guī)律，
在這一講中，主要介紹如何分析數(shù)之間的變化規(guī)律。
例 1 觀察分析下面各列數(shù)的變化規(guī)律，然后填空。
（1）5，9，13，17，（ ）；
（2）10，12，16，22，（ ）；
（3）1，4，9，16，（ ）；
（4）2，4，8，16，（ ）；
8
（5）4，5，7，11，19，（ ）。
分析與解 分析一列數(shù)的變化規(guī)律，一般是順序?qū)@列數(shù)中相鄰的幾個(gè)數(shù)進(jìn)行相同的四
則運(yùn)算，根據(jù)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，從中找到規(guī)律。
（1）依次用后一個(gè)數(shù)減去相鄰的前一個(gè)數(shù)，差都是 4，所以應(yīng)填 21；
（2）依次用后一個(gè)數(shù)減去相鄰的前一個(gè)數(shù)，它們的差依次為：2，4，6，那么下
一個(gè)差便應(yīng)該是 8，所以應(yīng)填 30；
（3）由于 1＝1×1，4＝2×2，9＝3×3，16＝4×4，所以下一個(gè)數(shù)應(yīng)為 5×5，填
25；
（4）因?yàn)?nbsp;2＝2，4＝2×2，8＝2×2×2，16＝2×2×2×2，因此下一個(gè)數(shù)應(yīng)為 5
個(gè) 2 相乘，填 32。也可以這樣分析：從第二個(gè)數(shù)開(kāi)始，每個(gè)數(shù)都是相鄰前面數(shù)的 2 倍，
所以空白處填 16×2＝32。
（5）由于 5－4＝1，7－5＝2，11－7＝4，19－11＝8，觀察 1，2，4，8 這列數(shù)，
一個(gè)數(shù)的 2 倍便是它后面的數(shù)，所以 8 后面應(yīng)是 16，而 19＋16＝35，所以應(yīng)填 35。
對(duì)于一列數(shù)的變化規(guī)律的分析，經(jīng)常是對(duì)這列數(shù)進(jìn)行某種運(yùn)算，然后依次將運(yùn)算
結(jié)果寫(xiě)下來(lái)，組成新的一列數(shù)，轉(zhuǎn)而考察新的這列數(shù)的變化規(guī)律，從而得出原來(lái)那列
數(shù)的變化規(guī)律。
例 2 觀察下面各數(shù)列的變化規(guī)律，然后進(jìn)行填空：
（1）7，14，10，12，14，9，19，5，______，______；
9
（2）7，8，10，______，22，38；
（3）5，14，41，122，______；
（4）1，2，3，5，8，13，21，______；
（5）1，2，2，4，8，32，______。
分析與解 （1）表面上看這列數(shù)規(guī)律不明顯，那是因?yàn)槲覀兊难酃庵痪窒抻凇跋噜彽?/p>
兩個(gè)數(shù)”之間，僅對(duì)這兩個(gè)數(shù)依次進(jìn)行計(jì)算、比較結(jié)果。現(xiàn)在我們隔著看，將這列數(shù)
分成兩列數(shù)，即
7，10，14，19，______；
14，12，9，5______。
第一列數(shù) 7，10，14，19，它們相鄰兩數(shù)之差依次為 3，4，5，所以下一個(gè)數(shù)應(yīng)為：
19＋6＝25；而第二列數(shù) 14，12，9，5，相鄰兩個(gè)數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)）依次為 2，3，
4，所以第二列數(shù)中下一個(gè)數(shù)應(yīng)為：5－5＝0。
因此，兩個(gè)空格中的數(shù)依次為 25、0；
（2）“空項(xiàng)”出現(xiàn)在一列數(shù)的中間比出現(xiàn)在這列數(shù)的最后分析規(guī)律要困難一些，
因?yàn)檫@列數(shù)在“空項(xiàng)”處斷開(kāi)，則我們分析這列數(shù)的變化規(guī)律時(shí)，往往也在此斷開(kāi)，
不易往下進(jìn)行。解這類題的步驟一般是將“空項(xiàng)”兩邊的幾個(gè)數(shù)的規(guī)律先各自找出來(lái)，
然后再在“空項(xiàng)”處試驗(yàn)填數(shù)，看看此數(shù)填進(jìn)去后，能否使前后兩邊數(shù)的規(guī)律統(tǒng)一起
來(lái)。
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在這列數(shù)中，前面三個(gè)數(shù)中相鄰的兩數(shù)之差為 1，2，后面的兩數(shù)之差為 16，如果
插進(jìn)去一個(gè)數(shù)，將會(huì)又產(chǎn)生兩個(gè)差，即 1，2，______，______，16，不難看出這兩個(gè)
空分別填 4，8，就使差所構(gòu)成的這列數(shù) 1，2，4，8，16 規(guī)律統(tǒng)一，而 10＋4＝14，14
＋8＝22，所以應(yīng)填 14；
（3）觀察相鄰兩數(shù)，發(fā)現(xiàn) 5×3－1＝14，14×3－1＝41，41×3－1＝122，也就
是說(shuō)前一個(gè)數(shù)的 3 倍比后一個(gè)數(shù)多 1。所以應(yīng)填 365；
（4）前面兩個(gè)數(shù)之和等于相鄰后面的數(shù)，如 1＋2＝3，2＋3＝5，3＋5＝8，5＋8
＝13，8＋13＝21，所以應(yīng)填 34；
（5）前面兩個(gè)數(shù)之積等于相鄰后面的數(shù)，如 1×2＝2，2×2＝4，2×4＝8，4×8
＝32，所以應(yīng)填 256。
例 3 觀察下面各題中數(shù)的變化規(guī)律，然后填出各題中所缺的數(shù)：
（1） 2 6 7 11 4
4 4 （ ） 1 4
3 5
5
6 4
11
（2） 2 6 1 3
3 10 2 5
4 （ ） 3 1
1 11 4 6
分析與解 （1）填這種題中所缺的數(shù)，要注意聯(lián)系行與行、列與列之間數(shù)的規(guī)律。觀
察這三行數(shù)，發(fā)現(xiàn)第三行的 2 倍正好等于第一行與第二行的和。因此，空格處填 5×2
－7＝3；
（2）觀察這四列數(shù)之間數(shù)的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第一列，第三列，第四列數(shù)的和等于第二
列。因此，空格處應(yīng)填 4＋3＋1＝8。
例 4 在下列各圖中填出所缺的數(shù)：
（1）如圖 1：
（2）如圖 2：
（3）如圖 3：
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（4）如圖 4：
分析與解 （1）作這種題一般先看一個(gè)圖形中各數(shù)之間的關(guān)系，然后再看其他圖形中
的數(shù)是否也有這個(gè)關(guān)系，最后使幾個(gè)圖形中的關(guān)系統(tǒng)一，便找到了規(guī)律。
注意到圓中上面兩個(gè)數(shù)的和等于下面兩個(gè)數(shù)的積，因此第一個(gè)空白處應(yīng)填（13＋8）
÷3＝7，第二個(gè)空白處應(yīng)填 7×2－5＝9；
（2）用外邊三個(gè)三角形內(nèi)的數(shù)去湊中心三角形內(nèi)的數(shù)，實(shí)際上，外邊三個(gè)三角形
內(nèi)的數(shù)的積等于中心三角形內(nèi)的數(shù)的 2 倍，因此，空白處應(yīng)填 4×3×6÷2＝36；
（3）注意圖中“拖拉機(jī)”的后輪（圓）與“拖拉機(jī)”之間有空隙，所以用其他三
個(gè)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，設(shè)法使結(jié)果等于“后輪”中的數(shù)。規(guī)律是：兩個(gè)三角形中的數(shù)之差（大
數(shù)減小數(shù)）與正方形中的數(shù)相乘，結(jié)果應(yīng)等于圓內(nèi)的數(shù)。所以空白處應(yīng)填（5－4）×3
＝3；
（4）設(shè)法用三個(gè)小圓內(nèi)的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，使結(jié)果等于大圓的數(shù)。規(guī)律是：三個(gè)小圓
內(nèi)數(shù)的和等于大圓內(nèi)數(shù)的一半。所以空白處應(yīng)填（5＋6＋9）×2＝40。
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通過(guò)對(duì)上面四個(gè)例題的分析，可以總結(jié)出下面幾點(diǎn)：
1．對(duì)一列數(shù)變化規(guī)律的分析，一般的思考步驟是：順序?qū)@列數(shù)中相鄰的幾個(gè)數(shù)
進(jìn)行同樣的某種四則運(yùn)算，將它們的運(yùn)算結(jié)果依次寫(xiě)下來(lái)組成新的一列數(shù)（通常這列
數(shù)的變化規(guī)律是比較明顯的），通過(guò)對(duì)這列數(shù)變化規(guī)律的分析，從而了解原來(lái)那列數(shù)
的變化規(guī)律。
2．有時(shí)要將一列數(shù)分成兩列數(shù)，分別考察它們各自的變化規(guī)律。
3．對(duì)于幾列數(shù)組成一組數(shù)變化規(guī)律的分析，需要同學(xué)們靈活地思考，規(guī)律沒(méi)有一
成不變的，有時(shí)需要綜合運(yùn)用其他知識(shí)，一種方法不行，就換另一種方法接著分析。
4．對(duì)于找到的規(guī)律，那么它應(yīng)該適合這列數(shù)中的所有數(shù)，不能只適用于前面幾個(gè)
數(shù)，而不適合于這列數(shù)中的其他數(shù)。
5．對(duì)于那些分布于某些圖形中的數(shù)，它們之間的變化規(guī)律往往與這些數(shù)在圖形中
的特殊位置有關(guān)，這是我們解這類題的入手點(diǎn)。
練習(xí)二
1．觀察下面各列數(shù)的變化規(guī)律，然后進(jìn)行填空：
（1）64，48，40，36，34，______；
（2）4，7，9，11，14，15，19，______；
（3）11，12，15，______，27，36；