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數(shù)學(xué)家資料手抄報(bào)內(nèi)容
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數(shù)學(xué)家資料手抄報(bào)
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數(shù)學(xué)家資料手抄報(bào)內(nèi)容：陳省身：數(shù)學(xué)陶冶我一生
早年在中國所受的教育我于1923年1月進(jìn)天津扶輪中學(xué)。那是一所四年制的高級中學(xué)，我獲準(zhǔn)插班入一年級就讀第二學(xué)期。該校的數(shù)學(xué)課程有：第一年，算術(shù)，使用中文課本;第二年，代數(shù)，使用Hall 與 Knight 的課本;第三年，幾何，使用Wentworth 與 Smith 的課本;第四年，三角學(xué)和高級代數(shù)，分別使用Wentworth-Smith 及 Hall-Knight 的課本。我的老師都很有能力，又極富獻(xiàn)身精神，我做了大量習(xí)題。到第四年，我已能做許多Ha ll-Knight 的書中引用的劍橋大學(xué)榮譽(yù)學(xué)位考試的題目。
1926年我從扶輪畢業(yè);同年我進(jìn)南開大學(xué)，實(shí)際上是跳了兩級，因此我從未上過解析幾何課。更糟的是，我必須參加南開大學(xué)的入學(xué)考試，其數(shù)學(xué)試題中解析幾何占很重的份量。考試前的三個(gè)星期，我自學(xué)了 Young 與 Morgen 的《數(shù)學(xué)分析》(Mathematical analy sis)如果記得不錯(cuò)的話，我的考卷位列第二。不過在很長的一段時(shí)間內(nèi)，“圓錐曲線的焦點(diǎn)”這一概念令我大傷腦筋，直到幾年后學(xué)了射影幾何學(xué)我才茅塞頓開。
進(jìn)南開大學(xué)后，我很快就發(fā)現(xiàn)自己做實(shí)驗(yàn)笨手笨腳，于是數(shù)學(xué)便成為我唯一的選擇。我有幸得姜立夫教授為師——他1918年獲哈佛大學(xué)哲學(xué)博士學(xué)位，導(dǎo)師是 J. Coolidge，論文題目是關(guān)于非歐幾里得空間中線球接觸變換的。因此，我在大學(xué)第四年，花了許多功夫?qū)W幾何，所讀的書中有 Coolidge 的《非歐幾何學(xué)》 與《圓和球的幾何學(xué)》，Solmon 的《圓錐曲線》與《立體解析幾何》，以及 Castelnuovo 的《解析幾何與射影幾何》等。尤其使我著迷的是 Otto Staude 的二卷本著作《線構(gòu)造》。二次超曲面的幾何是數(shù)學(xué)中優(yōu)美的篇章。我很高興看到 J. Moser 1979年在可積哈密頓系統(tǒng)和譜理論的研究中繼續(xù)這方面的工作。(參見3)甚至在今日，研究 Salmon 的東西可能仍是有價(jià)值的，至少在我看來是有趣的。
1930年我從南開畢業(yè)，去北平清華大學(xué)從孫鎕 【注1】 教授工作。孫先生在當(dāng)時(shí)是中國發(fā)表數(shù)學(xué)研究論文的唯一的數(shù)學(xué)家。孫的研究領(lǐng)域是射影微分幾何，他曾是芝加哥大學(xué) E.P.Lane 的博士生。這個(gè)主題由 E.J. Wilczynsky 于1901年創(chuàng)立，是那時(shí)已經(jīng)支配幾何學(xué)近一世紀(jì)的射影幾何的一個(gè)自然產(chǎn)物。我熟悉了這方面的文獻(xiàn)，并寫了幾篇論文，其中包括我的'有關(guān)射影線幾何的碩士論文。繼Plücker 與克萊因之后，線幾何一直是幾何學(xué)家們喜愛的主題。事實(shí)上克萊因的學(xué)位論文就是關(guān)于二次線體的，即 Plücker 坐標(biāo)下的二次方程所確定的線軌 (line loci)。二次線體具有許多背景中也有許多線幾何的內(nèi)容。
數(shù)學(xué)家資料手抄報(bào)內(nèi)容：我的論文研究線匯，即線的二維子流形以及它們的通過二次線體的密切(osculation)。
在我的研究生學(xué)業(yè)接近結(jié)束時(shí)，即大約1934年左右，我開始認(rèn)識到整體微分幾何(當(dāng)時(shí)稱為大范圍微分幾何)的重要性。我的主要靈感來自 W. Blaschke 的關(guān)于微分幾何的那些著作。很清楚，代數(shù)拓?fù)涫钦麄�(gè)領(lǐng)域的基礎(chǔ)。而代數(shù)拓?fù)浔旧懋?dāng)時(shí)還處于發(fā)展階段。Veblen 于1922年發(fā)表的 analysis situs 【注2】 引進(jìn)了「同調(diào)不變量」(homology characters) 即根據(jù)關(guān)聯(lián)矩陣得出的 Betti 數(shù)和撓系數(shù)。Lefschetz 的《拓?fù)鋵W(xué)》于1930年出版，但該書對初學(xué)者進(jìn)入這個(gè)領(lǐng)域并無裨益。我曾聽過 Emanuel Sperner 的講課(1933～1934年)。當(dāng)時(shí) Sperner 正在北京大學(xué)訪問，他的課包含有對 Erhard Schmidt 關(guān)于約當(dāng)曲線定理的證明的嚴(yán)密而詳細(xì)的論述。我也聽過江澤涵講授的以 Lefschetz 的書為藍(lán)本的「位置分析」課，江是 Marston Morse 過去的`學(xué)生，曾擔(dān)任 Lefschetz 的助手。而我當(dāng)時(shí)的感覺是我只是剛剛站在代數(shù)拓?fù)溥@座偉大殿堂的門口。
到1934年 Seifert-Threlfall 的書和1935年 Alexandroff-Hopf 的書問世，情況才有了巨大的變化。 1932年春季，Blaschke 訪問了北平，作了關(guān)于「微分幾何中的拓?fù)鋯栴}」的系列演講。這是真正的局部微分幾何。他采用全體微分同胚構(gòu)成的偽群取代經(jīng)典微分幾何中的李群，并研究了局部不變量。我能跟上 Blaschke 的演講并去閱讀發(fā)表在漢堡大學(xué)數(shù)學(xué)討論會論文集 (Hamburger Abhandlungen) 及其它雜志上的包含在這同一個(gè)總標(biāo)題下的許多論文。這個(gè)主題現(xiàn)在稱為網(wǎng)幾何 (web geometry)。由于有此接觸，之前又已掌握 Blaschke 的微分幾何書中的知識，所以當(dāng)1934年獲得一筆獎(jiǎng)學(xué)金時(shí)，我決定去漢堡留學(xué)。
數(shù)學(xué)家資料手抄報(bào)內(nèi)容：數(shù)學(xué)上與世隔絕
1937年夏我離歐返華時(shí)，本打算去北平就任清華大學(xué)教授之職，由于中日戰(zhàn)爭之故，十年后才達(dá)到此目的。當(dāng)時(shí)清華大學(xué)先搬到長沙，1938年又遷至昆明，在那兒一直滯留到1945年夏戰(zhàn)爭結(jié)束。
昆明是座美麗的城市。雖然處于戰(zhàn)事中的國家物資匱乏、局勢動蕩，但在生活的其它方面倒是愉快的。清華大學(xué)與北京大學(xué)、南開大學(xué)聯(lián)合，組成了西南聯(lián)合大 學(xué)，昆明立刻成為戰(zhàn)時(shí)中國知識界的中心。我的數(shù)學(xué)同仁包括華羅庚和許寶騄。我開了代數(shù)拓?fù)洹⒗钊骸⑶驇缀渭巴馕⒎窒到y(tǒng)等方面的課程和討論班，吸引了一批學(xué)生。主要的不便是此地與外界的聯(lián)系被切斷了：有段時(shí)間連「緬甸信道」也關(guān)閉了，與外界的聯(lián)系只有靠空運(yùn)。我有個(gè)私人小書庫。
起初，我做了以前想做而沒時(shí)間做的事：讀了些書，思考些問題，還覺得有趣。但挫折很快就降臨了，而且必須克服。我將此情信告 E. Cartan，他寄給我許多他的抽印本，包括一些過去的論文。我花了大量時(shí)間研讀這些論文，考慮其內(nèi)涵及應(yīng)用。這確實(shí)使我受益匪淺。在30年代，人們已開始認(rèn)識到 Cartan 的工作的重要性，如 Weyl、Blaschke 和 K?hler，但幾乎沒有人去讀 Cartan 舊時(shí)的論文(有關(guān)李代數(shù)的論文除外)。我很幸運(yùn)能因環(huán)境之故把這些論文都遍讀無遺。
駐華盛頓的中國大使胡適博士空郵來一本 Hurewicz-Wallman 寫的有關(guān)《維數(shù)論》的書。現(xiàn)今習(xí)慣于靜電復(fù)印的.人也許很難想象我把除最后一章外的整本書抄了一遍。在最后一章中，作者是在沒有正合序列概念的情況下處理正 合序列的問題，我覺得很難理解。其實(shí)當(dāng)時(shí)讀論文作筆記是很普通的。復(fù)印大量資料并不能說明自己取得了多少進(jìn)步。
我開始有了一些學(xué)生，其中有王憲鐘和嚴(yán)志達(dá)。王后來對拓?fù)鋵W(xué)作出了許多貢獻(xiàn)，盡管他最出名的成果是王序列。嚴(yán)最早給出所有例外李群的 Betti 數(shù)的正確值。
回首往事，我并不認(rèn)為自已對作為整體的數(shù)學(xué)有完善的見地。我清楚自己的某些不足并渴望得到充實(shí)。我的數(shù)學(xué)實(shí)力在于我能算。至今我不在乎繁復(fù)的計(jì)算，直到數(shù)年前我做這樣的計(jì)算還很少出現(xiàn)差錯(cuò)。這方面的訓(xùn)練現(xiàn)在不大流行，也得不到鼓勵(lì)，但在處理許多問題時(shí)它仍有很大的好處。
Gauss-Bonnet 公式曾使我著迷，我知道它的最概念化的證明是通過結(jié)構(gòu)方程來表示聯(lián)絡(luò)形式的外微分。當(dāng)1943年我去普林斯頓時(shí)，它已為為我在數(shù)學(xué)工作中最得意的一篇論文開了題。
數(shù)學(xué)家資料手抄報(bào)內(nèi)容：普林斯頓陽光燦爛
我于1943年8月抵達(dá)普林斯頓。氣氛的變化令人難忘。那段日子高等研究院很清靜，大多數(shù)人已離去為戰(zhàn)事服務(wù)。Hermann Weyl 對我的工作很感興趣。我訪問之前他曾為《數(shù)學(xué)紀(jì)事》(Annals of Mathematics) 審閱過我一篇有關(guān)迷向曲面的論文，并寫了一個(gè)很長的給予好評的報(bào)告。這件事是他親自泄露給我的。報(bào)告提出了改進(jìn)的建議，這說明他仔細(xì)地看了全文。我們經(jīng)常交談。Weyl 的深刻洞察之一是預(yù)言代數(shù)幾何有非常美好的前景。
Andre Weil 那時(shí)在附近的 Lehigh 大學(xué)，我們很快就見了面并有好多可談的內(nèi)容。當(dāng)時(shí)Weil 剛剛發(fā)表與 Allendoerfer 合作的關(guān)于 Gauss-Bonnet 公式的論文，它立刻成為我們討論的話題。根據(jù)我對二維情況的埋解，我知道正確的證明應(yīng)該建基于我們現(xiàn)在稱之為超度 (transgression) 的概念之上。困難則有兩個(gè)：1)當(dāng)時(shí)我對關(guān)于向量場的奇點(diǎn)的 Poincare-Hopf 定理不甚清楚;2)超度必須在單位切叢中而不是在主叢中實(shí)現(xiàn)，這就涉及到一個(gè)不平凡的技術(shù)困難。這兩個(gè)困難我都在短時(shí)間克服了，事情有了一個(gè)滿意的結(jié)果。我仍認(rèn)為這是我做得最好的工作。
其后自然要把這個(gè)結(jié)果擴(kuò)展到 Stiefel-Whitney 類。那時(shí)即使在普林斯頓，談起纖維叢也必得從定義開始。那時(shí)沒有矢量叢，只有球叢。我注意到復(fù)示性類較簡單，容許局部曲率表示。這項(xiàng)工作不難，但它并非那個(gè)時(shí)代拓?fù)鋵W(xué)的時(shí)尚課題。
我雖是高等研究院的成員，但很多時(shí)間是在普林斯頓大學(xué)的范氏大樓度過的。Chevalley 那時(shí)正在寫他的有關(guān)李群的書。Lefschetz 則固執(zhí)己見，他不愿用當(dāng)時(shí)盛行的常規(guī)方法研究微分幾何。當(dāng)時(shí)請我為《數(shù)學(xué)紀(jì)事》審閱一篇論文而建議退稿后，他讓我擔(dān)任該刊的副主編 (associate editor)。
普林斯頓的環(huán)境與工作節(jié)拍令我十分愜意。我對數(shù)學(xué)的看法成熟多了。留居普林斯頓的日子使我感到極大的樂趣。近年來科學(xué)競爭已使科學(xué)家的生活大煞風(fēng)景，盡管在數(shù)學(xué)方面的情況要好得多。我認(rèn)為沒有非要如此快地出成果的`必要，我也不為電子郵件的發(fā)現(xiàn)所動。
1945年底我告別普林斯頓回中國。踏上故土立即受命組建中國的科學(xué)院，即中央研究院的數(shù)學(xué)研究院，其時(shí)二次大戰(zhàn)雖已結(jié)束，中國卻由于內(nèi)戰(zhàn)而處于分裂狀態(tài)。我向 Hermann Weyl 發(fā)出訪華邀請，他欣然接受。但是中國當(dāng)時(shí)的形勢使這一訪問未能實(shí)現(xiàn)。
1948年底南京政府處于崩潰之中，感謝高等研究院主動安排我離華。1949年冬季學(xué)期我在高等研究院，是 Veblen 的微分幾何討論班的主講人。講稿兩年后補(bǔ)寫出來，流傳甚廣。這些講稿現(xiàn)收錄在已出版的我的《論文選集》第四卷內(nèi)。主要結(jié)果是 Weil 同態(tài)。這是陳類從酉群到任意李群的一個(gè)推廣。1944年我在寫有關(guān)復(fù)示性類的論文時(shí)就知道這個(gè)結(jié)果;由于未熟練掌握李群，當(dāng)時(shí)未能證明它。Weil 通過考慮聯(lián)絡(luò)族，提供了一個(gè)關(guān)鍵性的思想。我把這個(gè)結(jié)果稱為 Weil 同態(tài)。朋友們認(rèn)為我應(yīng)該分享這一榮譽(yù)，對此我自然不持異議。
數(shù)學(xué)家資料手抄報(bào)內(nèi)容：數(shù)學(xué)上進(jìn)入不惑之年
二次大戰(zhàn)后，Marshall Stone 應(yīng)召重組芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)系，并任系主任。他最早發(fā)出的兩份聘約分別送達(dá) Hassler Whitney 與 Andre Weil，這是他洞鑒數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)界的一個(gè)證明。Whitney 謝絕了，而 Weil 經(jīng)過數(shù)次協(xié)商后接受了。我在中國時(shí) Stone 就曾寫信給我談起要在芝加哥為我提供一個(gè)訊問職位的事。1949年我來美國后，芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)系決定長期聘我。我認(rèn)為芝加哥大學(xué)是美國唯一的其主要目標(biāo)是 「知識進(jìn)步」而非教育的大學(xué)。我有許多朋友在那里的數(shù)學(xué)系;1949年夏我成了該系的成員。由此引出了一段愉快而有益的合作。
1949～1950學(xué)年我開了一門名為「大范圍微分幾何」的課程，有一批才華橫溢的學(xué)生。我自己正在開辟自己的道路，我的學(xué)生及時(shí)更正了我的許多錯(cuò)誤 和疏忽，這是生氣勃勃而又有趣的結(jié)合。我還記得 Arnord Shapiro，他曾主持許多這樣的討論。回想起來，當(dāng)時(shí)我對微分幾何的了解還是初步的。這門學(xué)科中一些爭論問題至今未決，也許正反映了它的力量之所在。 例如，曲面是什么?是嵌入還是浸入，或是由可能有奇點(diǎn)的方程所定義的?另一方面，我的`課上涉及的許多課題，也獲得了新的多方面的發(fā)展。
我與 Weil 聯(lián)系密切。他隨時(shí)都有準(zhǔn)備，隨時(shí)都可合作。在與我討論過數(shù)學(xué)的眾多數(shù)學(xué)家中，Weil 是極少數(shù)能迅速抓全我的思想并給予有益的評說的數(shù)學(xué)家之一。我們常沿著密執(zhí)安湖畔長時(shí)間的漫步，這在當(dāng)時(shí)還很安全。
我對代數(shù)拓?fù)湟哺信d趣，偶爾開一門這方面的課。我與 Ed Spanier 在球叢的研究上進(jìn)行過合作。所獲結(jié)果之一是把 Gysin 的工作寫成一個(gè)正合序列。Rene Thom 把它做得更明白化了，這個(gè)結(jié)果現(xiàn)在通常稱為 Thom 同構(gòu)。我覺得芝加哥和漢堡都非常令人愉快。我認(rèn)為兩者的規(guī)模都很合適。不幸的是數(shù)學(xué)的發(fā)展已使一切都膨脹了。
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