關(guān)于數(shù)列的測(cè)試題
1．?dāng)?shù)列1，12，14，…，12n，…是()
A．遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列
C．常數(shù)列D．?dāng)[動(dòng)數(shù)列
答案：B
2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝12[1＋(－1)n＋1]，則該數(shù)列的前4項(xiàng)依次是()
A．1,0,1,0B．0,1,0,1
C.12，0，12，0D．2,0,2,0
答案：A
3．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝cn＋dn，又知a2＝32，a4＝154，則a10＝__________.
答案：9910
4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝2n2＋n.
(1)求a8、a10.
(2)問：110是不是它的項(xiàng)？若是，為第幾項(xiàng)？
解：(1)a8＝282＋8＝136，a10＝2102＋10＝155.
(2)令an＝2n2＋n＝110，∴n2＋n＝20.
解得n＝4.∴110是數(shù)列的第4項(xiàng)．
一、選擇題
1．已知數(shù)列{an}中，an＝n2＋n，則a3等于()
A．3B．9
C．12D．20
答案：C
2．下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無(wú)窮數(shù)列的是()
A．1，12，13，14，…
B．－1，－2，－3，－4，…
C．－1，－12，－14，－18，…
D．1，2，3，…，n
解析：選C.對(duì)于A，an＝1n，n∈N*，它是無(wú)窮遞減數(shù)列；對(duì)于B，an＝－n，n∈N*，它也是無(wú)窮遞減數(shù)列；D是有窮數(shù)列；對(duì)于C，an＝－(12)n－1，它是無(wú)窮遞增數(shù)列．
3．下列說(shuō)法不正確的是()
A．根據(jù)通項(xiàng)公式可以求出數(shù)列的任何一項(xiàng)
B．任何數(shù)列都有通項(xiàng)公式
C．一個(gè)數(shù)列可能有幾個(gè)不同形式的通項(xiàng)公式
D．有些數(shù)列可能不存在最大項(xiàng)
解析：選B.不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，如0,1,2,1,0，….
4．?dāng)?shù)列23，45，67，89，…的第10項(xiàng)是()
A.1617B.1819
C.2021D.2223
解析：選C.由題意知數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝2n2n＋1，
∴a10＝2×102×10＋1＝2021.故選C.
5．已知非零數(shù)列{an}的遞推公式為an＝nn－1an－1(n＞1)，則a4＝()
A．3a1B．2a1
C．4a1D．1
解析：選C.依次對(duì)遞推公式中的n賦值，當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝2a1；當(dāng)n＝3時(shí)，a3＝32a2＝3a1；當(dāng)n＝4時(shí)，a4＝43a3＝4a1.
6．(2011年浙江樂嘉調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿足a1>0，且an＋1＝12an，則數(shù)列{an}是()
A．遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列
C．常數(shù)列D．?dāng)[動(dòng)數(shù)列
解析：選B.由a1>0，且an＋1＝12an，則an>0.
又an＋1an＝12<1，∴an＋1<an.
因此數(shù)列{an}為遞減數(shù)列．
二、填空題
7．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝19－2n，則使an>0成立的最大正整數(shù)n的值為__________．
解析：由an＝19－2n>0，得n<192，∵n∈N*，∴n≤9.
答案：9
8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝5，a3＝23，且an＋1＝αan＋β，則α、β的值分別為________、________.
解析：由題意an＋1＝αan＋β，
得a2＝αa1＋βa3＝αa2＋β5＝2α＋β23＝5α＋βα＝6，β＝－7.
答案：6－7
9．已知{an}滿足an＝－1nan－1＋1(n≥2)，a7＝47，則a5＝________.
解析：a7＝－1a6＋1，a6＝1a5＋1，∴a5＝34.
答案：34
三、解答題
10．寫出數(shù)列1，23，35，47，…的一個(gè)通項(xiàng)公式，并判斷它的增減性．
解：數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝n2n－1.
又∵an＋1－an＝n＋12n＋1－n2n－1＝－12n＋12n－1＜0，
∴an＋1＜an.
∴{an}是遞減數(shù)列．
11．在數(shù)列{an}中，a1＝3，a17＝67，通項(xiàng)公式是關(guān)于n的.一次函數(shù)．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)求a2011；
(3)2011是否為數(shù)列{an}中的項(xiàng)？若是，為第幾項(xiàng)？
解：(1)設(shè)an＝kn＋b(k≠0)，則有k＋b＝3，17k＋b＝67，
解得k＝4，b＝－1.∴an＝4n－1.
(2)a2011＝4×2011－1＝8043.
(3)令2011＝4n－1，解得n＝503∈N*，
∴2011是數(shù)列{an}的第503項(xiàng)．
12．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝30＋n－n2.
(1)問－60是否是{an}中的一項(xiàng)？
(2)當(dāng)n分別取何值時(shí)，an＝0，an＞0，an＜0?
解：(1)假設(shè)－60是{an}中的一項(xiàng)，則－60＝30＋n－n2.
解得n＝10或n＝－9(舍去)．
∴－60是{an}的第10項(xiàng)．
(2)分別令30＋n－n2＝0；＞0；＜0，
解得n＝6；0＜n＜6；n＞6，
即n＝6時(shí)，an＝0；
0＜n＜6時(shí)，an＞0；
n＞6時(shí)，an＜0.
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