關于高三數學冪函數與二次函數的復習題
形如y=xa(a為實數)的函數，即以底數為自變量，冪為因變量，指數為常量的函數稱為冪函數，以下是高考數學復習冪函數與二次函數專題檢測，請大家仔細進行檢測。
一、選擇題
1.(2013寶雞模擬)已知m2,點(m-1,y1),(m,y2),(m+1,y3)都在二次函數y=x2-2x的圖像上,則( )
(A)y1ca (B)ac
(C)cb (D)ab
6.設abc0,二次函數f(x)=ax2+bx+c的圖像可能是( )
7.函數f(x)=ax2+(a-3)x+1在區間[-1,+)上是減少的,則實數a的取值范圍是( )
(A)[-3,0)
(B)(-,-3]
(C)[-2,0]
(D)[-3,0]
8.(2013安慶模擬)設函數f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,則關于x的方程f(x)=x的解的個數是( )
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
9.(2013南昌模擬)設b0,二次函數y=ax2+bx+a2-1的圖像為下列之一.
則a的值為( )
(A)1
(B)2
(C)-1
(D)-2
10.(能力挑戰題)若不等式x2+ax+10對于一切x(0,]恒成立,則a的最小值是( )
(A)0
(B)2
(C)-1
(D)-3
二、填空題
11.若二次函數f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,bR)是偶函數,且它的值域為(-,4],則該函數的解析式f(x)= .
12.(2013上饒模擬)已知關于x的方程x2+a|x|+a2-9=0只有一個實數解,則實數a的值為.
13.二次函數f(x)的二次項系數為正,且對任意x恒有f(2+x)=f(2-x),若f(1-2x2)0，則實數a的取值范圍是.
三、解答題
15.(能力挑戰題)已知二次函數f(x)=ax2+bx(a,b為常數,且a0),滿足條件f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有等根.
(1)求f(x)的解析式.
(2)是否存在實數m,n(m2,
1(，
由函數y=()x在R上是減函數知((，
ab.
6.【解析】選D.對于選項A,C,都有abc0,故排除A,C.對于選項B,D,都有-0,即ab0,則當c0時,abc0.
7.【解析】選D.當a=0時,f(x)=-3x+1顯然成立,
當a0時,需解得-30,
綜上可得-30.
【誤區警示】本題易忽視a=0這一情況而誤選A,失誤的原因是將關于x的函數誤認為是二次函數.
8.【解析】選C.由f(-4)=f(0),f(-2)=-2得
f(x)=
當x0時,由f(x)=x得x2+4x+2=x,
解得x=-2或x=-1.
當x0時,由f(x)=x得x=2.
故關于x的方程f(x)=x的解的'個數是3個.
9.【解析】選C.由b0知,二次函數對稱軸不是y軸,結合二次函數的開口方向及對稱軸位置,二次函數圖像是第③個.從而a2-1=0且a0,a=-1.
10.【解析】選C.方法一:設g(a)=ax+x2+1,
∵x(0,],g(a)為增加的.
當x=時滿足:a++10即可,解得a-.
方法二:由x2+ax+10得a-(x+)在x(0,]上恒成立,
令g(x)=-(x+),則知g(x)在(0,]上是增加的,
g(x)max=g()=-,a-.
11.【思路點撥】化簡f(x),函數f(x)為偶函數,則一次項系數為0可求b.值域為(-,4],則最大值為4,可求2a2,即可求出解析式.
【解析】∵f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2是偶函數,則其圖像關于y軸對稱.
2a+ab=0,b=-2或a=0(舍去).
f(x)=-2x2+2a2,又f(x)的值域為(-,4],
2a2=4,f(x)=-2x2+4.
答案:-2x2+4
12.【解析】設f(x)=x2+a|x|+a2-9,
則f(-x)=(-x)2+a|-x|+a2-9
=x2+a|x|+a2-9=f(x),
即函數f(x)是偶函數.
由題意知,f(0)=0,則a2-9=0,
a=3或a=-3,
經檢驗a=3符合題意,a=-3不合題意,故a=3.
答案:3
13.【思路點撥】由題意知二次函數的圖像開口向上,且關于直線x=2對稱,則距離對稱軸越遠,函數值越大,依此可轉化為不等式問題.
【解析】由f(2+x)=f(2-x)知x=2為對稱軸,由于二次項系數為正的二次函數中距對稱軸越遠函數值越大,|1-2x2-2||1+2x-x2-2|,
即|2x2+1||x2-2x+1|,
2x2+10的否定為:對于區間[0，1]內的任意一個x都有f(x)0.
即
解得a1或a-2.
二次函數在區間[0，1]內至少存在一個實數b，使f(b)0的實數a的取值范圍是(-2，1).
答案:(-2，1)
15.【解析】(1)∵f(x)滿足f(1+x)=f(1-x),
f(x)的圖像關于直線x=1對稱.
而二次函數f(x)的對稱軸為x=-,
-=1 ①
又f(x)=x有等根,即ax2+(b-1)x=0有等根,
=(b-1)2=0 ②
由①②得b=1,a=-,f(x)=-x2+x.
(2)∵f(x)=-x2+x=-(x-1)2+.
如果存在滿足要求的m,n,則必須3n,
n.
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