勾股定理應用題和答案

　　導語：勾股定理是一個基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。中國古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一長直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個定理為勾股定理，也有人稱商高定理。以下是小編整理勾股定理應用題和答案的資料，歡迎閱讀參考。

　　1．長方體(或正方體)面上的兩點間的最短距離

　　長方體(或正方體)是立體圖形，但它的每個面都是平面．若計算同一個面上的兩點之間的距離比較容易，若計算不同面上的兩點之間的距 離，就必須把它們轉化到同一個平面內，即把長方體(或正方體)設法展開成為一個平面，使計算距離的兩個點處在同一個平面中，這樣就可以利用勾股定理加以解決了．所以立體圖形中求兩點之間的 最短距離，一定要審清題意，弄清楚到底是同一平面中兩點間的距離問題還是異面上兩點間的距離問題．

　　談重點 長方體表面上兩點間最短距離

　　因為長方體的展開圖不止一種情況，故對長方體相鄰的兩個面展開時，考慮要全面，不要有所遺漏．不過要留意展開時的多種情況，雖然看似很多，但由于長方體的`對面是相同的，所以歸納起來只需討論三種情況——前面和右面展開，前面和上面展開，左面和上面展開，從而比較取其最小值即可．

　　【例1】①是一個棱長為3 c的正方體，它的6個表面都分別被分成了3×3的小正方形，其邊長為1 c。現在有一只爬行速度為2 c/s的螞蟻，從下底面的A點沿著正方體的表面爬行到右側表面上的B點，小明把螞蟻爬行的時間記錄了下來，是2。5 s．經過簡短的思考，小明先是臉上露出了驚訝的表情，然后又露出了欣賞的目光．

　　你 知道小明為什么會佩服這只螞蟻的舉動嗎？

　　解：②，在Rt△ABD中，AD＝4 c，BD＝3 c。

　　由勾股定理，AB2＝BD2＋AD2＝32 ＋42＝25，AB＝5 c，∴螞蟻的爬行距離為5 c。

　　又知道螞蟻的爬行速度為2 c/s，

　　∴它從點A沿著正方體的表面爬行到點B處，需要時間為52＝2。5 s。

　　小明通過思考、判斷，發現螞蟻爬行的時間恰恰就是選擇了這種最優的方式，所以他感到驚訝和佩服．

　　【例2】一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為5 d,3 d和1 d，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物．請你想一想，這只螞蟻從A點出發，沿著臺階面爬到B點的最短路程是多少？

　　分析：由于螞蟻是沿臺階的表面由A爬行到B，故需把三個臺階展開成平面圖形

　　解：將臺階展開成平面圖形后，可知AC＝5 d，BC＝3×(3＋1)＝12 d，∠C＝90°。

　　在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，

　　∴AB2＝52＋122＝132，

　　∴AB＝13 d。

　　故 螞蟻爬到B點的最短路程是13 d。

　　4．如何正確利用勾股定理及其逆定理解決生活中的問題

　　利用勾股定理及其逆定理解決生活中的實際問題，重要的是將實際問題轉化成數學模型(直角三角形模型)，將實際問題中的“數”轉化為定理中的“形”，再轉化為“數”．解題的關鍵是深刻理解題意，并畫出符合條件的圖形．

　　解決幾何體表面上兩點之間的最短距離問題的關鍵是要設法把立體圖形轉化為平面圖形，具體步驟是：

　　(1)把立體圖形展成平面圖形；

　　(2)確定點的位置；

　　(3)確定直角三角形；

　　(4)分析直角三角形的邊長，用勾股定理求解．

　　求出CD的長嗎？

　　解：設CD＝x c，由題意知DE＝x c，BD＝(8－x) c，AE＝AC＝6 c，

　　在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝10 c。

　　于是BE＝10－6＝4 c。

　　在Rt△BDE中，由勾股定理得42＋x2＝(8－x)2， 解得x＝3。

　　故CD的長為3 c。