離散數(shù)學的代數(shù)系統(tǒng)理論在密碼學中的應(yīng)用論文
【摘要】本文分析了離散數(shù)學中的代數(shù)系統(tǒng)理論與密碼學課程之間的關(guān)系，闡述了離散數(shù)學在密碼學領(lǐng)域的實際應(yīng)用。
【關(guān)鍵詞】離散數(shù)學；密碼學；教學
一、引言
離散數(shù)學是計算機專業(yè)的基礎(chǔ)課，為計算機專業(yè)的后續(xù)課程提供專業(yè)的數(shù)學理論基礎(chǔ)。該課程可以全方位培養(yǎng)學生的抽象思維能力和解決實際問題的能力，為學生學習其它專業(yè)課程建立數(shù)學的思想。
該課程包括數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)系統(tǒng)、圖論四個大部分。每個部分與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，數(shù)據(jù)庫，人工智能，數(shù)字邏輯，編譯原理等課程都密切相關(guān)。
本文我們將闡述離散數(shù)學中的代數(shù)系統(tǒng)理論部分與密碼學的相關(guān)性，并且分析該理論在密碼學領(lǐng)域的若干應(yīng)用。
二、代數(shù)系統(tǒng)理論與密碼學的相關(guān)性及在密碼學的應(yīng)用
離散數(shù)學中的代數(shù)系統(tǒng)理論包括代數(shù)系統(tǒng)的一些基本概念、半群與獨異點、群、環(huán)與域、格與布爾代數(shù)。代數(shù)系統(tǒng)與密碼學聯(lián)系非常緊密，為密碼學提供非常重要的數(shù)學基礎(chǔ)�，F(xiàn)將代數(shù)系統(tǒng)理論在密碼學中的若干應(yīng)用列舉如下：
密碼學中，凱撒密碼是一種最簡單且最廣為人知的加密技術(shù)，是一種簡單的基于替換原理的加密技術(shù)。凱撒密碼將明文中的所有字母都在字母表上向后（或向前）按照一個固定數(shù)目進行偏移后被替換成密文，其中固定數(shù)目的偏移量為加解密密鑰。例如當偏移量為3，字母A將被替換成D，B變成E，其它的字母按此規(guī)則類推。在代數(shù)系統(tǒng)理論中群是一種典型的代數(shù)系統(tǒng)，具有封閉性、可結(jié)合性、含單位元以及每個元素都有逆元等性質(zhì)。從本質(zhì)上來說凱撒密碼就是一個特殊的群，是建立在26個字母之上，字母與密鑰進行運算的剩余模群。通過對于群理論的學習可以幫助學生更好的理解凱撒密碼的本質(zhì)。
在密碼學中有一個重要的公鑰加密算法的RSA，該算法是目前最安全的公鑰加密算法，可以抵抗目前已知的絕大多數(shù)密碼攻擊。數(shù)論中的費馬小定理為RSA提供數(shù)學上的安全性保證。通過對于費馬小定理的原理和正確性的理解可以更好的理解RSA算法的安全性，在實際中更好地使用RSA算法。
在密碼學中的橢圓曲線密碼是基于橢圓曲線的'一種公鑰密碼算法，該密碼安全性基于橢圓曲線離散對數(shù)的困難性上，是一個有限域上橢圓曲線的阿貝爾群。對于在代數(shù)系統(tǒng)理論中群和域的概念以及性質(zhì)進行認真學習和理解可以用于橢圓曲線密碼的學習。
三、離散數(shù)學在計算機其他學科中的應(yīng)用
離散數(shù)學在計算機研究中的作用越來越大，計算機科學中普遍采用離散數(shù)學中的一些基本概念、基本思想、基本方法，使得計算機科學越趨完善與成熟。離散數(shù)學在計算機科學和技術(shù)中有著廣泛應(yīng)用，除了在上述提到的領(lǐng)域中發(fā)揮了重要作用外，在其他領(lǐng)域也有著重要的應(yīng)用，如離散數(shù)學中的數(shù)理邏輯部分在計算機硬件設(shè)計中的應(yīng)用尤為突出，數(shù)字邏輯作為計算機科學的一個重要理論，在很大程度上起源于離散數(shù)學的數(shù)理邏輯中的命題與邏輯演算。利用命題中各關(guān)聯(lián)詞的運算規(guī)律把由高低電平表示的各信號之間的運算與二進制數(shù)之間的運算聯(lián)系起來，使得我們可以用數(shù)學的方法來解決電路設(shè)計問題，使得整個設(shè)計過程變得更加直觀，更加系統(tǒng)化。集合論在計算機科學中也有廣泛的應(yīng)用，它為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法分析奠定了數(shù)學基礎(chǔ)，也為許多問題從算法角度如何加以解決提供了進行抽象和描述的一些重要方法，在軟件工程和數(shù)據(jù)庫中也會用到。代數(shù)結(jié)構(gòu)是關(guān)于運算或計算規(guī)則的學問，在計算機科學中，代數(shù)方法被廣泛應(yīng)用于許多分支學科，如可計算性與計算復(fù)雜性、形式語言與自動機、密碼學、網(wǎng)絡(luò)與通信理論、程序理論和形式語義學等，格與布爾代數(shù)理論成為電子計算機硬件設(shè)計和通訊系統(tǒng)設(shè)計中的重要工具，圖論對開關(guān)理論與邏輯設(shè)計、計算機制圖、操作系統(tǒng)、程序設(shè)計語言的編譯系統(tǒng)以及信息的組織與檢索起重要作用，其平面圖、樹的研究對集成電路的布線、網(wǎng)絡(luò)線路的鋪設(shè)、網(wǎng)絡(luò)信息流量的分析等的實用價值顯而易見。
四、結(jié)束語
通過上面的分析，我們可以發(fā)現(xiàn)離散數(shù)學中的代數(shù)系統(tǒng)理論在密碼學領(lǐng)域的作用非常重要，離散數(shù)學不僅是計算機技術(shù)迅猛發(fā)展的支撐學科，更是提高學生邏輯思維能力、創(chuàng)造性思維能力以及形式化表述能力的動力源，離散數(shù)學課程所傳授的思想和方法，廣泛地體現(xiàn)在計算機科學技術(shù)及相關(guān)專業(yè)的諸領(lǐng)域，從科學計算到信息處理，從理論計算機科學到計算機應(yīng)用技術(shù)，從計算機軟件到計算機硬件，從人工智能到分布式系統(tǒng)，無不與離散數(shù)學密切相關(guān)。在現(xiàn)代計算機科學中，如果不了解離散數(shù)學的基本內(nèi)容，則在計算機科學中就寸步難行了。
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