求數列中幾種類型的通項公式總結

求數列中幾種類型的通項公式總結

　　一、由遞推關系求通項公式

　　（1）遞推式為 = + 及 = （ 為常數）（可利用等差、等比數列來求）

　　例、⒈ 已知數列{ }滿足 = +2，且 =1，求 .

　　⒉ 已知數列{ }滿足 = ，且 =2，求 .

　　（2）遞推式為 = + ，（ 需可求和）

　　例、已知數列{ }滿足 = + ， =1，求 .

　　練習 已知數列{ }中， = ，且當 時 ，求通項公式

　　(3) 遞推式為 = + （ 為常數）

　　例、已知數列{ }滿足 =3 +2，且 =1，求 .

　　簡解：法一、由已知得 =3 +2， =3 +2，相減得 - =3（ - ）即數列

　　{ - }是 =3的等比數列，所以 - =（ - ） 且 - =4，又 =3 +2，

　　代入可得 =2 -1

　　法二、由法一得{ - }是 =3的等比數列，則 - =4， - = 4 3， - = 4 ，…， - = 4 .以上n-1式累加得 - = 4（1+3+ + +…+ ）= ，所以可得 =2 -1

　　法三、由遞推式 =3 + 2，得 + 1=3（ +1）即數列{ + 1}是公比為3的等比數列，且首項為 +1=2，所以 +1=2 ，即 =2 -1

　　練習 已知數列{ }滿足 =2 -1，且 =2，求 .

　　（4）遞推式為 = + （ 為常數）

　　例 已知數列{ }滿足 = + ，且 = ，求 .

　　(提示：兩邊同時除以 轉化為類型二來求)

　　練習 已知數列{ }滿足 =2 + ，且 =1，求 .

　　（5）遞推式為 =

　　例 在數列{ }中， =2， = ，求 .

　　練習 已知： =1， ，求 .

　　（6）遞推式為 = (可先求倒數，轉化成數列{ }來求)

　　例 已知數列{ }滿足 =1， ，求 .

　　（7）其他 例 已知數列{ }滿足： =1， ， （ ）令 。① 求證：數列{ }是等比數列，并求 ；②求 .

　　二、已知 之間的關系來求通項公式

　　利用公式 (n 2)，注意首項.

　　例 已知數列{ }滿足 = +1，求 .

　　練習 已知數列{ }的前n項和為 ，滿足 ，其中 ＞1，求數列{ }的通項公式。

　　三、已知 和 的關系求數列的通項公式

　　常用思路 1. 消 ，轉化為 的關系，再求 （優先考慮）；

　　2. 消 ，轉化為 的關系，先求 ，再求 。

　　利用公式 (n 2)，注意首項.

　　例 已知數列{ }的前n項和為 ，若對任意的 ，都有 =2 -3 .

　　① 求數列{ }的首項 及遞推關系式 = ；②求通項公式 。

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